在解析几何中，双曲线是一种重要的二次曲线，其定义和性质广泛应用于数学、物理以及工程领域。本文将详细介绍如何求解双曲线的焦点坐标及其焦距，帮助读者深入理解这一概念。

一、双曲线的基本形式

双曲线的标准方程有两种形式，分别是水平方向和垂直方向的：

1. 水平方向：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

2. 垂直方向：$\frac{y^2}{a^2} - \frac{x^2}{b^2} = 1$

其中，$a > 0$ 和 $b > 0$ 是常数，它们决定了双曲线的形状和大小。

二、焦点坐标的计算

焦点是双曲线的重要特征点之一，位于双曲线的对称轴上。对于上述两种标准形式，焦点的坐标可以通过以下公式计算：

- 水平方向：$(\pm c, 0)$

- 垂直方向：$(0, \pm c)$

其中，$c$ 的值由下式确定：

$$

c = \sqrt{a^2 + b^2}

$$

三、焦距的计算

焦距是指两个焦点之间的距离，记作 $2c$。因此，焦距可以直接通过 $c$ 的值计算得出：

$$

\text{焦距} = 2c = 2\sqrt{a^2 + b^2}

$$

四、实例分析

假设有一条水平方向的双曲线，其方程为：

$$

\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{16} = 1

$$

从方程可以看出，$a^2 = 9$，$b^2 = 16$。因此：

$$

c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

$$

由此可得焦点坐标为 $(\pm 5, 0)$，焦距为 $2c = 10$。

五、总结

通过以上步骤，我们可以轻松求出双曲线的焦点坐标和焦距。掌握这些方法不仅有助于解决数学问题，还能加深对双曲线几何特性的理解。希望本文能为读者提供实用的帮助！

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