【各种分布的方差与期望公式是什么】在概率论与数理统计中，期望和方差是描述随机变量核心特征的两个重要指标。不同的概率分布具有各自独特的期望（均值）和方差计算公式。掌握这些公式不仅有助于理解分布的性质，还能在实际问题中进行数据分析与建模。
以下是对常见概率分布的期望与方差的总结，以文字说明加表格的形式呈现，便于查阅与记忆。
一、离散型分布
1. 二项分布（Binomial Distribution）
- 定义：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布。
- 参数：n（试验次数），p（每次成功概率）
- 期望：E(X) = np
- 方差：Var(X) = np(1 - p)
2. 泊松分布（Poisson Distribution）
- 定义：描述单位时间内某事件发生次数的概率分布。
- 参数：λ（平均发生率）
- 期望：E(X) = λ
- 方差：Var(X) = λ
3. 几何分布（Geometric Distribution）
- 定义：表示首次成功前失败次数的分布。
- 参数：p（每次成功概率）
- 期望：E(X) = (1 - p)/p
- 方差：Var(X) = (1 - p)/p²
4. 超几何分布（Hypergeometric Distribution）
- 定义：从有限总体中不放回抽样时的成功次数分布。
- 参数：N（总体数量），K（成功个体数），n（抽样数量）
- 期望：E(X) = nK/N
- 方差：Var(X) = nK/N (N - K)/N (N - n)/(N - 1)
二、连续型分布
1. 均匀分布（Uniform Distribution）
- 定义：在区间[a, b]上取值的概率密度函数为常数。
- 参数：a，b（区间端点）
- 期望：E(X) = (a + b)/2
- 方差：Var(X) = (b - a)²/12
2. 正态分布（Normal Distribution）
- 定义：最常见的一种对称分布，广泛用于自然和社会科学。
- 参数：μ（均值），σ²（方差）
- 期望：E(X) = μ
- 方差：Var(X) = σ²
3. 指数分布（Exponential Distribution）
- 定义：描述事件发生时间间隔的分布。
- 参数：λ（速率参数）
- 期望：E(X) = 1/λ
- 方差：Var(X) = 1/λ²
4. 伽玛分布（Gamma Distribution）
- 定义：指数分布的推广，适用于等待时间或寿命分析。
- 参数：α（形状参数），β（尺度参数）
- 期望：E(X) = αβ
- 方差：Var(X) = αβ²
三、其他常见分布
1. 卡方分布（Chi-Squared Distribution）
- 定义：多个独立标准正态变量的平方和。
- 参数：k（自由度）
- 期望：E(X) = k
- 方差：Var(X) = 2k
2. t分布（Student's t-Distribution）
- 定义：样本均值的分布，适用于小样本情况。
- 参数：ν（自由度）
- 期望：E(X) = 0（当ν > 1）
- 方差：Var(X) = ν/(ν - 2)（当ν > 2）
四、总结表格
| 分布名称 | 类型 | 参数 | 期望 E(X) | 方差 Var(X) |
| 二项分布 | 离散 | n, p | np | np(1-p) |
| 泊松分布 | 离散 | λ | λ | λ |
| 几何分布 | 离散 | p | (1-p)/p | (1-p)/p² |
| 超几何分布 | 离散 | N, K, n | nK/N | nK/N(N-K)/N(N-n)/(N-1) |
| 均匀分布 | 连续 | a, b | (a + b)/2 | (b - a)²/12 |
| 正态分布 | 连续 | μ, σ² | μ | σ² |
| 指数分布 | 连续 | λ | 1/λ | 1/λ² |
| 伽玛分布 | 连续 | α, β | αβ | αβ² |
| 卡方分布 | 连续 | k | k | 2k |
| t分布 | 连续 | ν | 0（ν>1） | ν/(ν-2)（ν>2） |
通过以上内容，可以系统地了解各类分布的期望与方差公式，帮助在实际应用中快速判断和计算相关统计量。掌握这些知识对于学习统计学、数据分析以及机器学习等方向都具有重要意义。
