【常用的等价无穷小有哪些】在高等数学中，等价无穷小是研究函数极限的重要工具之一。通过等价无穷小的替换，可以简化极限计算，提高解题效率。以下是一些在微积分中常见的等价无穷小关系，适用于当 $ x \to 0 $ 时的情况。
一、总结
等价无穷小指的是两个函数在某一点附近具有相同的趋近速度，即它们的比值趋于1。在实际应用中，我们常常将复杂表达式中的某些部分用更简单的等价形式代替，从而更容易求出极限。
以下是常见的等价无穷小关系，适用于 $ x \to 0 $ 的情况：
二、常用等价无穷小表格
| 函数 | 等价无穷小 |
| $ \sin x $ | $ x $ |
| $ \tan x $ | $ x $ |
| $ \arcsin x $ | $ x $ |
| $ \arctan x $ | $ x $ |
| $ \ln(1+x) $ | $ x $ |
| $ e^x - 1 $ | $ x $ |
| $ a^x - 1 $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ x \ln a $ |
| $ 1 - \cos x $ | $ \frac{1}{2}x^2 $ |
| $ \sqrt{1+x} - 1 $ | $ \frac{1}{2}x $ |
| $ \sqrt[n]{1+x} - 1 $（$ n $ 为正整数） | $ \frac{1}{n}x $ |
| $ \log_a(1+x) $ | $ \frac{x}{\ln a} $ |
| $ \sinh x $ | $ x $ |
| $ \tanh x $ | $ x $ |
三、注意事项
1. 上述等价关系仅在 $ x \to 0 $ 时成立，若 $ x \to \infty $ 或其他极限点，则需重新考虑。
2. 在使用等价无穷小替换时，必须确保替换后的函数与原函数在该极限点处同阶且等价。
3. 有时需要结合泰勒展开或洛必达法则来验证等价性。
四、应用举例
例如，计算极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}
$$
由于 $ \sin x \sim x $，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = 1
$$
再如：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}
$$
因为 $ e^x - 1 \sim x $，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1
$$
掌握这些等价无穷小关系，有助于快速解决许多极限问题，并加深对函数行为的理解。
