【等差等比数列公式】在数学中，数列是一个重要的概念，尤其在高中和大学的数学课程中经常出现。其中，等差数列和等比数列是最基础、最常见的两种数列类型。它们各自具有不同的规律和公式，掌握这些公式对于解决实际问题和提高数学能力非常有帮助。
一、等差数列
定义：如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的差是一个常数，那么这个数列叫做等差数列。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $a_1$ 为首项，$d$ 为公差 |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $S_n$ 为前n项的和 |
| 或 $ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $ |
举例说明：
若等差数列为 2, 5, 8, 11, 14，则首项 $a_1 = 2$，公差 $d = 3$，第5项 $a_5 = 2 + (5-1)\times3 = 14$，前5项和 $S_5 = \frac{5}{2}(2 + 14) = 40$。
二、等比数列
定义：如果一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比是一个常数，那么这个数列叫做等比数列。
基本公式：
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 |
| 第n项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ | $a_1$ 为首项，$r$ 为公比 |
| 前n项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（当 $r \neq 1$） | $S_n$ 为前n项的和 |
| 当 $r = 1$ 时 | $ S_n = a_1 \cdot n $ | 所有项都相等 |
举例说明：
若等比数列为 3, 6, 12, 24, 48，则首项 $a_1 = 3$，公比 $r = 2$，第5项 $a_5 = 3 \cdot 2^{4} = 48$，前5项和 $S_5 = 3 \cdot \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{-31}{-1} = 93$。
三、总结对比
为了更清晰地了解等差数列和等比数列的区别与联系，以下是一个对比表格：
| 特性 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每一项与前一项的差为常数 | 每一项与前一项的比为常数 |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 前n项和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$r \neq 1$） |
| 公差/公比 | 公差 $d$ | 公比 $r$ |
| 举例 | 2, 5, 8, 11, 14 | 3, 6, 12, 24, 48 |
四、注意事项
- 在使用公式时，要注意公比 $r$ 是否为1，若为1则不能使用等比数列求和公式。
- 等差数列的项可以是任意实数，而等比数列的项通常要求不为零，否则无法计算公比。
- 实际应用中，等差数列常见于线性增长问题，如工资逐年增加；等比数列则常见于指数增长问题，如投资收益、人口增长等。
通过以上内容，我们可以看到，等差数列和等比数列虽然形式不同，但都具有明确的规律和简洁的公式，便于理解和应用。掌握这些公式不仅有助于解题，还能提升对数列整体结构的理解能力。
