在解析几何和物理学中，向量的矢量积（也称为叉乘）是一个非常重要的概念。它不仅用于描述物理中的力矩、磁场等现象，也是解决三维空间几何问题的重要工具。本文将详细介绍向量的矢量积及其坐标公式的推导过程。

首先，我们定义两个三维向量 \(\vec{A} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{B} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的矢量积 \(\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B}\) 是一个新的向量，其方向由右手定则决定，大小等于这两个向量所构成平行四边形的面积。

矢量积的坐标公式可以通过行列式的形式来表示：

\[

\vec{C} = \vec{A} \times \vec{B} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是 \(x\), \(y\), \(z\) 轴上的单位向量。通过计算这个行列式，我们可以得到 \(\vec{C}\) 的分量表达式：

\[

\vec{C} =

\left( a_2b_3 - a_3b_2 \right) \mathbf{i}

- \left( a_1b_3 - a_3b_1 \right) \mathbf{j}

+ \left( a_1b_2 - a_2b_1 \right) \mathbf{k}

\]

因此，\(\vec{C}\) 的坐标形式为：

\[

\vec{C} = \left( c_1, c_2, c_3 \right)

\]

其中：

\[

c_1 = a_2b_3 - a_3b_2, \quad

c_2 = -(a_1b_3 - a_3b_1), \quad

c_3 = a_1b_2 - a_2b_1

\]

为了更好地理解这个公式，我们可以将其应用到实际问题中。例如，在计算力矩时，如果已知作用力 \(\vec{F}\) 和力臂 \(\vec{r}\)，那么力矩 \(\vec{\tau}\) 就是力 \(\vec{F}\) 和力臂 \(\vec{r}\) 的矢量积：

\[

\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}

\]

通过上述公式，我们可以精确地计算出力矩的大小和方向，从而帮助我们分析物体的旋转状态。

总结来说，向量的矢量积坐标公式提供了一种简洁而有效的方法来处理三维空间中的向量运算。无论是理论研究还是工程应用，这一公式都具有重要的价值。掌握好这个公式，不仅可以加深对向量的理解，还能为解决复杂的空间几何问题提供有力的支持。