【固有频率计算公式?】在机械振动、结构动力学和工程力学中,固有频率是一个非常重要的概念。它指的是一个系统在没有外力作用下,仅由初始扰动引起的自由振动频率。了解系统的固有频率有助于避免共振现象,从而防止结构损坏或设备故障。
本文将总结不同系统中常见的固有频率计算公式,并以表格形式进行展示,便于查阅和理解。
一、简谐振动系统的固有频率
对于一个简单的弹簧-质量系统(即单自由度系统),其固有频率可以通过以下公式计算:
$$
f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}
$$
其中:
- $ f_n $:固有频率(Hz)
- $ k $:弹簧刚度(N/m)
- $ m $:质量(kg)
二、悬臂梁的固有频率
对于一根一端固定、另一端自由的悬臂梁,其第一阶固有频率可以近似表示为:
$$
f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3EI}{\rho A L^4}} \cdot \left( \frac{1}{L^2} \right)
$$
其中:
- $ E $:弹性模量(Pa)
- $ I $:截面惯性矩(m⁴)
- $ \rho $:材料密度(kg/m³)
- $ A $:横截面积(m²)
- $ L $:梁的长度(m)
三、圆轴扭转振动的固有频率
对于一根两端固定的圆轴,其扭转振动的固有频率可表示为:
$$
f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GJ}{I_p L^2}}
$$
其中:
- $ G $:剪切模量(Pa)
- $ J $:极惯性矩(m⁴)
- $ I_p $:转动惯量(kg·m²)
- $ L $:轴的长度(m)
四、多自由度系统的固有频率
对于多自由度系统,通常需要通过求解特征方程来得到固有频率。其一般形式为:
$$
\det(K - \omega^2 M) = 0
$$
其中:
- $ K $:刚度矩阵
- $ M $:质量矩阵
- $ \omega $:角频率(rad/s)
五、常见系统固有频率公式汇总表
系统类型 | 公式 | 参数说明 |
弹簧-质量系统 | $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $ | $k$: 刚度, $m$: 质量 |
悬臂梁 | $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3EI}{\rho A L^4}} $ | $E$: 弹性模量, $I$: 惯性矩, $L$: 长度 |
圆轴扭转振动 | $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GJ}{I_p L^2}} $ | $G$: 剪切模量, $J$: 极惯性矩, $L$: 长度 |
多自由度系统 | $ \det(K - \omega^2 M) = 0 $ | $K$: 刚度矩阵, $M$: 质量矩阵 |
六、总结
固有频率是系统在无外力作用下的自然振动频率,对工程设计和安全评估具有重要意义。不同的系统有不同的计算方法,掌握这些公式有助于更好地理解和分析振动问题。在实际应用中,还需结合实验测试与仿真分析,以提高精度和可靠性。