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固有频率计算公式?

2025-07-03 08:07:31

问题描述:

固有频率计算公式?,这个坑怎么填啊?求大佬带带!

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2025-07-03 08:07:31

固有频率计算公式?】在机械振动、结构动力学和工程力学中,固有频率是一个非常重要的概念。它指的是一个系统在没有外力作用下,仅由初始扰动引起的自由振动频率。了解系统的固有频率有助于避免共振现象,从而防止结构损坏或设备故障。

本文将总结不同系统中常见的固有频率计算公式,并以表格形式进行展示,便于查阅和理解。

一、简谐振动系统的固有频率

对于一个简单的弹簧-质量系统(即单自由度系统),其固有频率可以通过以下公式计算:

$$

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}

$$

其中:

- $ f_n $:固有频率(Hz)

- $ k $:弹簧刚度(N/m)

- $ m $:质量(kg)

二、悬臂梁的固有频率

对于一根一端固定、另一端自由的悬臂梁,其第一阶固有频率可以近似表示为:

$$

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3EI}{\rho A L^4}} \cdot \left( \frac{1}{L^2} \right)

$$

其中:

- $ E $:弹性模量(Pa)

- $ I $:截面惯性矩(m⁴)

- $ \rho $:材料密度(kg/m³)

- $ A $:横截面积(m²)

- $ L $:梁的长度(m)

三、圆轴扭转振动的固有频率

对于一根两端固定的圆轴,其扭转振动的固有频率可表示为:

$$

f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GJ}{I_p L^2}}

$$

其中:

- $ G $:剪切模量(Pa)

- $ J $:极惯性矩(m⁴)

- $ I_p $:转动惯量(kg·m²)

- $ L $:轴的长度(m)

四、多自由度系统的固有频率

对于多自由度系统,通常需要通过求解特征方程来得到固有频率。其一般形式为:

$$

\det(K - \omega^2 M) = 0

$$

其中:

- $ K $:刚度矩阵

- $ M $:质量矩阵

- $ \omega $:角频率(rad/s)

五、常见系统固有频率公式汇总表

系统类型 公式 参数说明
弹簧-质量系统 $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $ $k$: 刚度, $m$: 质量
悬臂梁 $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{3EI}{\rho A L^4}} $ $E$: 弹性模量, $I$: 惯性矩, $L$: 长度
圆轴扭转振动 $ f_n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GJ}{I_p L^2}} $ $G$: 剪切模量, $J$: 极惯性矩, $L$: 长度
多自由度系统 $ \det(K - \omega^2 M) = 0 $ $K$: 刚度矩阵, $M$: 质量矩阵

六、总结

固有频率是系统在无外力作用下的自然振动频率,对工程设计和安全评估具有重要意义。不同的系统有不同的计算方法,掌握这些公式有助于更好地理解和分析振动问题。在实际应用中,还需结合实验测试与仿真分析,以提高精度和可靠性。

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