为了理解这个定理的证明过程，我们可以从一些基本概念入手。首先，考虑集合 \( S = \{1, 2, 3, ..., p-1\} \)，这个集合包含了所有小于 \( p \) 的正整数，并且这些数都不包含 \( p \) 的因数。接下来，我们考察集合 \( T = \{a, 2a, 3a, ..., (p-1)a\} \)，即每个元素都是 \( a \) 乘以集合 \( S \) 中的某个元素。

由于 \( a \) 和 \( p \) 互质（即它们的最大公约数为 1），因此当我们将 \( T \) 中的每个元素对 \( p \) 取模时，得到的结果仍然是 \( \{1, 2, 3, ..., p-1\} \) 的一个排列。换句话说，集合 \( T \) 模 \( p \) 后与集合 \( S \) 等价。

基于上述观察，我们可以写出以下等式：

\[ a \cdot 2a \cdot 3a \cdot ... \cdot (p-1)a \equiv 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (p-1) \pmod{p} \]

简化后得到：

\[ a^{p-1} \cdot (p-1)! \equiv (p-1)! \pmod{p} \]

由于 \( (p-1)! \) 不为零且与 \( p \) 互质，我们可以两边同时除以 \( (p-1)! \)，从而得出：

\[ a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} \]

这就完成了费马小定理的证明过程。通过这一推导，我们可以看到，费马小定理实际上是基于数论中的一些基本性质和模运算规则得出的结论。这一理论不仅在数学领域有着广泛的应用，也在密码学等领域发挥着重要作用。