在数学领域中，卡丹公式（Cardano's Formula）是一种用来求解三次方程的方法。这一公式的提出标志着代数学的一个重要进步，因为它首次系统地解决了三次方程的通用解法问题。接下来，我们将详细推导出卡丹公式的全过程。

一、一般形式的三次方程

我们首先考虑一个一般形式的三次方程：

\[ ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \]

为了简化计算，我们可以将方程标准化为没有二次项的形式。这可以通过变量替换 \( x = y - \frac{b}{3a} \) 实现。经过这样的替换后，方程变为：

\[ y^3 + py + q = 0 \]

其中：

\[ p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}, \quad q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3} \]

这样我们就得到了一个简化后的三次方程。

二、引入辅助变量

为了进一步简化求解过程，我们引入一个新的变量 \( z \)，使得：

\[ y = z - \frac{p}{3z} \]

将这个表达式代入到简化后的三次方程中，得到：

\[ \left( z - \frac{p}{3z} \right)^3 + p\left( z - \frac{p}{3z} \right) + q = 0 \]

展开并整理后，可以得到一个关于 \( z^3 \) 的方程：

\[ z^6 + qz^3 - \frac{p^3}{27} = 0 \]

这是一个关于 \( z^3 \) 的二次方程。令 \( w = z^3 \)，则上述方程变为：

\[ w^2 + qw - \frac{p^3}{27} = 0 \]

三、求解 \( w \)

利用二次方程的求根公式，我们可以求得 \( w \) 的两个值：

\[ w = \frac{-q \pm \sqrt{q^2 + \frac{4p^3}{27}}}{2} \]

这里需要注意的是，当判别式 \( q^2 + \frac{4p^3}{27} < 0 \) 时，方程有三个实根；否则，可能有两个共轭复根和一个实根。

四、回代求解 \( y \)

对于每一个 \( w \)，我们可以找到对应的 \( z \) 值：

\[ z = \sqrt[3]{w} \]

然后通过 \( y = z - \frac{p}{3z} \) 求得 \( y \) 的值。最后，根据原始的变量替换关系 \( x = y - \frac{b}{3a} \)，即可得到原方程的所有解。

结论

通过上述步骤，我们完成了卡丹公式对三次方程的完整推导过程。这种方法虽然复杂，但它为解决高次方程奠定了基础，并启发了后来更高效的数值方法的发展。

请注意，在实际应用中，卡丹公式可能会遇到数值稳定性的问题，因此现代计算机科学中通常采用数值算法来处理此类问题。