在数学和统计学领域中，“期望公式”是一个非常基础且重要的概念。它主要用于计算随机变量的平均值或预期值，帮助我们理解一个事件或过程可能的结果及其发生的概率。

假设我们有一个随机变量X，它可以取n个不同的值x₁, x₂, ..., xₙ，每个值对应一个特定的概率p₁, p₂, ..., pₙ。那么，这个随机变量X的期望值E(X)就可以通过下面的期望公式来计算：

\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]

这个公式的意思是，对于每一个可能的结果xᵢ，我们将其乘以其发生的概率pᵢ，然后将所有这些乘积相加起来，得到的就是这个随机变量的期望值。

例如，如果我们掷一枚公平的六面骰子，每一个面出现的概率都是1/6。我们可以计算出掷出点数的期望值如下：

\[ E(X) = 1 \cdot \frac{1}{6} + 2 \cdot \frac{1}{6} + 3 \cdot \frac{1}{6} + 4 \cdot \frac{1}{6} + 5 \cdot \frac{1}{6} + 6 \cdot \frac{1}{6} \]

\[ E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]

因此，掷一次公平的六面骰子，点数的期望值是3.5。

期望公式不仅仅适用于离散型随机变量，也适用于连续型随机变量。对于连续型随机变量，期望值的计算需要用到积分而不是求和，公式变为：

\[ E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) dx \]

其中f(x)是随机变量X的概率密度函数。

通过期望公式，我们可以更好地理解和预测各种随机现象的行为，为决策提供依据。无论是金融投资、科学研究还是日常生活中的一些简单决策，期望公式都扮演着不可或缺的角色。