【范德蒙德行列式计算例子】范德蒙德行列式（Vandermonde Determinant）是线性代数中一种重要的特殊行列式，常用于多项式插值、组合数学等领域。其形式为：
$$
V = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1} \\
1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1}
\end{vmatrix}
$$
范德蒙德行列式的计算公式为：
$$
V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)
$$
即所有不同元素之间的差的乘积。
一、范德蒙德行列式的计算方法总结
范德蒙德行列式的计算可以通过以下步骤进行：
1. 确认行列式的形式是否符合范德蒙德结构：每一行从左到右依次为 $1, x_i, x_i^2, \ldots, x_i^{n-1}$。
2. 利用已知公式直接计算：如果已知各 $x_i$ 的值，则可以直接使用公式 $V = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i)$ 进行计算。
3. 通过行变换简化计算：若 $x_i$ 值较复杂，可通过行减法消去某些元素，使行列式化简为更易计算的形式。
二、范德蒙德行列式计算实例
下面以一个具体的三阶范德蒙德行列式为例进行计算：
$$
V = \begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
1 & 2 & 4 \\
1 & 3 & 9
\end{vmatrix}
$$
根据公式：
$$
V = (2 - 1)(3 - 1)(3 - 2) = 1 \times 2 \times 1 = 2
$$
也可以通过展开计算验证：
$$
V = 1 \cdot (2 \cdot 9 - 4 \cdot 3) - 1 \cdot (1 \cdot 9 - 4 \cdot 1) + 1 \cdot (1 \cdot 3 - 2 \cdot 1)
$$
$$
= 1 \cdot (18 - 12) - 1 \cdot (9 - 4) + 1 \cdot (3 - 2)
$$
$$
= 6 - 5 + 1 = 2
$$
三、范德蒙德行列式计算示例汇总表
| 行列式阶数 | $x_1$ | $x_2$ | $x_3$ | 计算结果 $V$ | 公式计算结果 |
| 2 | 1 | 2 | — | 1 | $(2 - 1) = 1$ |
| 3 | 1 | 2 | 3 | 2 | $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ |
| 3 | 0 | 1 | -1 | 2 | $(1-0)(-1-0)(-1-1) = 1 \times (-1) \times (-2) = 2$ |
| 4 | 1 | 2 | 3 | 4 | $(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1×2×3×1×2×1 = 12$ |
四、注意事项
- 范德蒙德行列式在所有 $x_i$ 互不相等时非零；若存在重复的 $x_i$，则行列式为零。
- 在实际应用中，范德蒙德行列式常用于构造唯一解的条件，如多项式插值问题。
- 若 $x_i$ 为实数或复数，计算时需注意符号和顺序。
通过以上分析与实例，可以清晰理解范德蒙德行列式的结构、计算方法及应用场景。对于更高阶的行列式，也可以按照相同的方式进行扩展和计算。
