【一元二次方程的极值推导过程】在数学中，一元二次方程是形如 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的方程，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的图像是一条抛物线，其顶点处即为函数的极值点（最大值或最小值）。本文将详细推导一元二次函数的极值，并以总结加表格的形式展示关键内容。
一、基本概念
- 定义：一元二次函数的标准形式为 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，其中 $ a, b, c $ 为常数，且 $ a \neq 0 $。
- 图像：抛物线，开口方向由系数 $ a $ 决定：
- 若 $ a > 0 $，抛物线开口向上，顶点为最低点（极小值）；
- 若 $ a < 0 $，抛物线开口向下，顶点为最高点（极大值）。
二、极值点的推导过程
1. 求导法
对函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $ 求导，得：
$$
f'(x) = 2ax + b
$$
令导数等于零，解出极值点的横坐标：
$$
2ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{2a}
$$
2. 代入原函数求极值
将 $ x = -\frac{b}{2a} $ 代入原函数，得到极值：
$$
f\left(-\frac{b}{2a}\right) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c
$$
化简后可得：
$$
f\left(-\frac{b}{2a}\right) = c - \frac{b^2}{4a}
$$
3. 判断极值类型
- 若 $ a > 0 $，则该点为极小值；
- 若 $ a < 0 $，则该点为极大值。
三、结论总结
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 一元二次函数标准形式：$ f(x) = ax^2 + bx + c $，其中 $ a \neq 0 $ |
| 2 | 极值点横坐标公式：$ x = -\frac{b}{2a} $ |
| 3 | 极值点纵坐标公式：$ y = c - \frac{b^2}{4a} $ |
| 4 | 极值类型判断：若 $ a > 0 $，为极小值；若 $ a < 0 $，为极大值 |
| 5 | 图像为抛物线，对称轴为 $ x = -\frac{b}{2a} $ |
四、应用举例
例如，对于函数 $ f(x) = 2x^2 - 4x + 1 $：
- $ a = 2 $，$ b = -4 $，$ c = 1 $
- 极值点横坐标：$ x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 $
- 极值点纵坐标：$ f(1) = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1 $
- 因为 $ a > 0 $，所以该点为极小值点。
通过上述推导和总结，可以清晰地理解一元二次函数极值的来源及其计算方法。这一知识在物理、工程、经济等领域具有广泛应用价值。
