【向量积的计算公式】向量积（也称为叉积或外积）是向量代数中的一个重要概念，广泛应用于物理、工程和计算机图形学等领域。向量积的结果是一个向量，其方向垂直于两个原始向量所在的平面，大小则与两个向量的模长及夹角有关。
在三维空间中，若已知两个向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$，它们的向量积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 可以通过以下公式计算：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
其中，$\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 是单位向量，分别对应 $x$、$y$、$z$ 轴方向。
向量积的性质总结
| 性质 | 描述 | ||||||
| 1. 方向性 | 向量积的方向由右手定则决定：四指从 $\vec{a}$ 指向 $\vec{b}$，拇指指向结果向量方向。 | ||||||
| 2. 正交性 | $\vec{a} \times \vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 都垂直。 | ||||||
| 3. 模长 | $ | \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | \vec{b} | \sin\theta$，其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。 | |
| 4. 反交换律 | $\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ | ||||||
| 5. 分配律 | $\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$ | ||||||
| 6. 零向量情况 | 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线，则 $\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}$ |
向量积的计算示例
假设 $\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (4, 5, 6)$，则：
$$
\vec{a} \times \vec{b} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 6 - 3 \cdot 5)\mathbf{i} - (1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\mathbf{j} + (1 \cdot 5 - 2 \cdot 4)\mathbf{k}
$$
$$
= (12 - 15)\mathbf{i} - (6 - 12)\mathbf{j} + (5 - 8)\mathbf{k}
$$
$$
= -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k}
$$
因此，$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 6, -3)$
小结
向量积是向量运算中一种重要的几何工具，它不仅能够表示两个向量所形成的面积，还能帮助确定垂直方向。掌握其计算方法和基本性质，有助于在多个学科领域中进行更深入的分析与应用。
