【函数求导公式】在微积分中，导数是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速计算函数的导数，是学习高等数学的基础内容之一。以下是对常见函数求导公式的总结，并以表格形式呈现，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数公式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（$ n \in \mathbb{R} $） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（$ a > 0, a \neq 1 $） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数的导数（链式法则）
若 $ y = f(u) $，且 $ u = g(x) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
例如：
- 若 $ y = \sin(3x) $，则 $ y' = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $
- 若 $ y = (x^2 + 1)^5 $，则 $ y' = 5(x^2 + 1)^4 \cdot 2x = 10x(x^2 + 1)^4 $
三、乘积与商的导数
1. 乘积法则：
若 $ y = u(x)v(x) $，则：
$$
y' = u'v + uv'
$$
2. 商法则：
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则：
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
四、高阶导数
函数的二阶导数为原函数导数的导数，记作 $ f''(x) $ 或 $ \frac{d^2f}{dx^2} $，依此类推。
例如：
- 若 $ f(x) = x^3 $，则 $ f'(x) = 3x^2 $，$ f''(x) = 6x $
五、隐函数求导
对于由方程 $ F(x, y) = 0 $ 所确定的隐函数 $ y = y(x) $，可对两边同时对 $ x $ 求导，然后解出 $ \frac{dy}{dx} $。
例如：
- 若 $ x^2 + y^2 = 1 $，则两边对 $ x $ 求导得：
$$
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
$$
六、参数方程求导
若 $ x = x(t) $，$ y = y(t) $，则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} \quad (\text{当 } \frac{dx}{dt} \neq 0)
$$
总结
掌握函数的求导公式是进行微积分运算的基础。通过熟练应用基本导数规则、链式法则、乘积与商法则以及隐函数和参数方程的求导方法，可以高效地处理各种复杂的函数求导问题。建议结合实例反复练习，加深理解。
附：常用导数公式速查表
| 函数 | 导数 |
| $ x^n $ | $ nx^{n-1} $ |
| $ e^x $ | $ e^x $ |
| $ a^x $ | $ a^x \ln a $ |
| $ \ln x $ | $ \frac{1}{x} $ |
| $ \sin x $ | $ \cos x $ |
| $ \cos x $ | $ -\sin x $ |
| $ \tan x $ | $ \sec^2 x $ |
| $ \cot x $ | $ -\csc^2 x $ |
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