当我们处理一组线性无关的向量时，往往希望这些向量之间相互垂直。这种性质不仅有助于简化计算过程，还能使问题的几何意义更加清晰。施密特正交化正是为了满足这一需求而设计的一种算法。

假设我们有一组线性无关的向量{v₁, v₂, ..., vₙ}，我们的目标是通过施密特正交化得到一组新的向量{u₁, u₂, ..., uₙ}，使得任意两个不同的向量ui和uj（i ≠ j）都彼此正交，并且每个ui的方向与原始向量vi保持一致。

具体步骤如下：

1. 首先令u₁等于v₁。

2. 对于每一个后续向量ui (i > 1)，我们从vi中减去它在所有之前已经构造好的正交向量上的投影部分，从而确保ui与之前的向量正交。

这个过程可以用公式表示为：

\[ u_k = v_k - \sum_{j=1}^{k-1} \frac{\langle v_k, u_j \rangle}{\langle u_j, u_j \rangle} u_j \]

其中，<·, ·> 表示内积运算符。

通过上述方法，我们可以逐步构建出一个正交基。如果需要进一步标准化这些向量（即单位长度），只需再对每个ui除以其自身的范数即可完成正交归一化。

施密特正交化方法不仅在理论研究中有重要意义，在工程实践当中也有着广泛的应用场景。例如，在信号处理领域，当我们要分析多维数据集时，通常会使用这种方法来减少冗余信息并提高模型效率；而在机器学习中，它也被用来优化特征空间结构以改善分类器性能等。

总之，施密特正交化作为一种基本而又强大的工具，在解决各种涉及向量空间的问题时发挥着不可替代的作用。无论是在学术界还是工业界，掌握这项技能都将大大提升解决问题的能力。