【平面向量数量积公式是什么】在数学中，向量是既有大小又有方向的量，而平面向量的数量积（也称为点积）是向量之间的一种乘法运算。它在物理、工程和数学中有着广泛的应用，例如计算力做功、投影长度等。
一、平面向量数量积的定义
设两个平面向量为 a = (a₁, a₂) 和 b = (b₁, b₂)，它们的数量积记作 a·b，其定义如下：
$$
a \cdot b = a_1 b_1 + a_2 b_2
$$
这个公式表示的是两个向量对应分量的乘积之和。
此外，数量积还可以通过向量的模长和夹角来表示：
$$
a \cdot b =
$$
其中：
- $
- $
- $ \theta $ 是两个向量之间的夹角。
二、数量积的性质总结
| 性质名称 | 描述 | ||
| 交换律 | $ a \cdot b = b \cdot a $ | ||
| 分配律 | $ a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c $ | ||
| 数乘结合律 | $ (k a) \cdot b = k(a \cdot b) $，其中 $ k $ 为实数 | ||
| 零向量性质 | 若 $ a = 0 $，则 $ a \cdot b = 0 $ | ||
| 正交性 | 若 $ a \cdot b = 0 $，则 $ a $ 与 $ b $ 垂直（夹角为90°） | ||
| 模长平方 | $ a \cdot a = | a | ^2 $ |
三、数量积的实际应用
1. 投影计算：数量积可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影长度。
2. 角度计算：通过数量积公式，可以求出两个向量之间的夹角。
3. 判断垂直关系：若两向量数量积为零，则它们互相垂直。
4. 物理学中的应用：如计算力对物体所做的功，功等于力向量与位移向量的数量积。
四、实例说明
假设向量 a = (3, 4)，向量 b = (1, 2)，那么它们的数量积为：
$$
a \cdot b = 3 \times 1 + 4 \times 2 = 3 + 8 = 11
$$
如果已知两向量的模分别为 $
$$
a \cdot b = 5 \times \sqrt{5} \times \cos(60^\circ) = 5 \times \sqrt{5} \times \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{5}}{2}
$$
通过以上内容可以看出，平面向量的数量积不仅是一个简单的代数运算，更是一种重要的几何工具，能够帮助我们理解向量之间的关系与实际问题的解决。
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