【导数公式表】在微积分的学习中，导数是一个非常重要的概念，它用于描述函数的变化率。掌握常见的导数公式对于解决数学问题、物理建模以及工程计算都具有重要意义。本文将对一些常用的导数公式进行总结，并以表格的形式展示，便于查阅和记忆。
一、基本初等函数的导数
| 函数表达式 | 导数 |
| $ f(x) = c $（c为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \sec x $ | $ f'(x) = \sec x \tan x $ |
| $ f(x) = \csc x $ | $ f'(x) = -\csc x \cot x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \ln x $（x>0） | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \log_a x $（x>0, a>0, a≠1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、导数的运算法则
| 法则名称 | 表达式 |
| 常数倍法则 | $ [cf(x)]' = c f'(x) $ |
| 加法法则 | $ [f(x) + g(x)]' = f'(x) + g'(x) $ |
| 减法法则 | $ [f(x) - g(x)]' = f'(x) - g'(x) $ |
| 乘法法则 | $ [f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) $ |
| 商法则 | $ \left[ \frac{f(x)}{g(x)} \right]' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2} $ |
| 链式法则 | $ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $ |
三、高阶导数与隐函数导数
- 高阶导数：如 $ y'' = (y')' $，即对原函数求导后再次求导。
- 隐函数求导：若 $ F(x, y) = 0 $，可对两边同时对x求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、常见复合函数导数示例
| 复合函数 | 导数 |
| $ f(x) = \sin(3x) $ | $ f'(x) = 3\cos(3x) $ |
| $ f(x) = \ln(2x+1) $ | $ f'(x) = \frac{2}{2x+1} $ |
| $ f(x) = e^{5x} $ | $ f'(x) = 5e^{5x} $ |
| $ f(x) = \tan(x^2) $ | $ f'(x) = 2x \sec^2(x^2) $ |
五、小结
导数是研究函数变化规律的重要工具，熟练掌握各种基本函数及其组合的导数公式，有助于提高解题效率和准确性。通过不断练习和应用，可以更好地理解和运用这些公式，从而提升数学分析能力。建议在学习过程中结合实际例子进行推导和验证，以加深理解。
