【如何由余子式求代数余子式】在行列式的计算中，余子式和代数余子式是两个重要的概念。它们在展开行列式、求逆矩阵以及解线性方程组等问题中具有重要作用。本文将总结如何由余子式求出对应的代数余子式，并通过表格形式进行清晰展示。
一、基本概念
1. 余子式（Minor）
对于一个 $ n \times n $ 的矩阵 $ A $，其元素 $ a_{ij} $ 的余子式 $ M_{ij} $ 是指去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后，剩下的 $ (n-1) \times (n-1) $ 矩阵的行列式。
2. 代数余子式（Cofactor）
代数余子式 $ C_{ij} $ 是余子式 $ M_{ij} $ 乘以符号因子 $ (-1)^{i+j} $，即：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
二、由余子式求代数余子式的方法
从上述定义可以看出，代数余子式是余子式乘以一个符号因子。因此，只要知道余子式的值，就可以通过判断该元素所在行与列的索引之和的奇偶性，来确定符号。
具体步骤如下：
1. 找到目标元素 $ a_{ij} $。
2. 计算其对应的余子式 $ M_{ij} $。
3. 根据位置 $ i, j $ 的奇偶性，判断符号：
- 若 $ i + j $ 为偶数，则符号为正；
- 若 $ i + j $ 为奇数，则符号为负。
4. 将余子式乘以相应的符号，得到代数余子式 $ C_{ij} $。
三、示例说明
假设有一个 3×3 矩阵 $ A $ 如下：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9
\end{bmatrix}
$$
我们以元素 $ a_{21} = 4 $ 为例，求其代数余子式。
1. 去掉第 2 行和第 1 列，得到余子式矩阵：
$$
M_{21} =
\begin{vmatrix}
2 & 3 \\
8 & 9
\end{vmatrix}
= (2 \cdot 9) - (3 \cdot 8) = 18 - 24 = -6
$$
2. 计算符号因子：$ (-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1 $
3. 代数余子式为：
$$
C_{21} = (-1)^{2+1} \cdot M_{21} = -1 \cdot (-6) = 6
$$
四、总结表格
| 元素位置 | 余子式 $ M_{ij} $ | 符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | 代数余子式 $ C_{ij} $ |
| $ a_{11} $ | $ M_{11} $ | $ (+1) $ | $ +M_{11} $ |
| $ a_{12} $ | $ M_{12} $ | $ (-1) $ | $ -M_{12} $ |
| $ a_{13} $ | $ M_{13} $ | $ (+1) $ | $ +M_{13} $ |
| $ a_{21} $ | $ M_{21} $ | $ (-1) $ | $ -M_{21} $ |
| $ a_{22} $ | $ M_{22} $ | $ (+1) $ | $ +M_{22} $ |
| $ a_{23} $ | $ M_{23} $ | $ (-1) $ | $ -M_{23} $ |
| $ a_{31} $ | $ M_{31} $ | $ (+1) $ | $ +M_{31} $ |
| $ a_{32} $ | $ M_{32} $ | $ (-1) $ | $ -M_{32} $ |
| $ a_{33} $ | $ M_{33} $ | $ (+1) $ | $ +M_{33} $ |
五、注意事项
- 余子式仅表示数值大小，不包含符号信息。
- 代数余子式不仅包含数值大小，还包含了符号信息，用于行列式的展开。
- 在实际计算中，通常直接使用代数余子式进行展开，而不是单独计算余子式后再补符号。
通过以上内容，我们可以清晰地理解如何由余子式推导出代数余子式，并且在实际应用中灵活运用这一方法。
