【等差等比数列求和公式】在数学中，等差数列与等比数列是两种常见的数列形式，它们的求和公式在数列问题中具有重要的应用价值。掌握这些公式的推导过程和使用方法，有助于提高解题效率和理解数列的本质。
一、等差数列求和公式
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的差为常数，这样的数列为等差数列。这个常数称为公差，记作 $ d $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 + (n - 1)d $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ n $ 是项数。
求和公式：
$$ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $$
或
$$ S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n - 1)d] $$
说明：
- $ S_n $ 表示前 $ n $ 项的和；
- 公式可以根据已知条件灵活选择使用。
二、等比数列求和公式
定义：一个数列中，从第二项起，每一项与前一项的比为常数，这样的数列为等比数列。这个常数称为公比，记作 $ r $。
通项公式：
$$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $$
其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比。
求和公式：
当 $ r \neq 1 $ 时，
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $$
或
$$ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $$
特殊情况：
当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时
$$ S_n = n \cdot a_1 $$
三、总结对比表
| 项目 | 等差数列 | 等比数列 |
| 定义 | 每项与前一项的差为常数 | 每项与前一项的比为常数 |
| 公差 $ d $ | $ a_{n} - a_{n-1} = d $ | 无（用公比 $ r $ 表示） |
| 公比 $ r $ | 无 | $ \frac{a_n}{a_{n-1}} = r $ |
| 通项公式 | $ a_n = a_1 + (n - 1)d $ | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $ |
| 求和公式 | $ S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) $ | $ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} $（$ r \neq 1 $） |
| 特殊情况 | 当 $ d = 0 $ 时，为常数列 | 当 $ r = 1 $ 时，为常数列 |
四、小结
等差数列与等比数列是数列学习中的基础内容，掌握它们的求和公式不仅能帮助解决实际问题，还能加深对数列规律的理解。在实际应用中，需根据题目给出的条件选择合适的公式进行计算，并注意公比 $ r = 1 $ 的特殊情况，避免出错。
通过不断练习和总结，可以更熟练地运用这些公式，提升数学思维能力和解题技巧。
