【如何求数列通项公式：（[10]对数法和倒数法）】在数列的学习中，求通项公式是常见的问题之一。根据数列的不同形式，可以采用多种方法进行求解。本文将重点介绍“对数法”和“倒数法”这两种适用于特定类型数列的求通项技巧，并通过实例说明其应用方式。
一、对数法
适用条件：当数列的递推关系为乘积或指数形式时，如 $ a_{n+1} = a_n \cdot r^n $ 或 $ a_{n+1} = a_n^r $ 等。
基本思路：通过对数变换将乘法转化为加法，简化递推关系，从而更容易求出通项。
步骤：
1. 对数列两边取对数；
2. 将递推式转化为线性关系；
3. 求解线性递推式；
4. 反向取指数得到通项公式。
示例：
已知数列满足 $ a_1 = 2 $，$ a_{n+1} = 2a_n $，求通项公式。
解：
$$
\log a_{n+1} = \log(2a_n) = \log 2 + \log a_n
$$
令 $ b_n = \log a_n $，则有：
$$
b_{n+1} = b_n + \log 2
$$
这是一个等差数列，首项 $ b_1 = \log 2 $，公差为 $ \log 2 $，故：
$$
b_n = \log 2 + (n - 1)\log 2 = n \log 2
$$
因此：
$$
a_n = 10^{b_n} = 10^{n \log 2} = 2^n
$$
二、倒数法
适用条件：当数列的递推关系为分式形式时，如 $ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $ 或 $ a_{n+1} = \frac{1}{a_n + c} $ 等。
基本思路：通过对数列取倒数，将其转化为线性或更易处理的形式，进而求得通项。
步骤：
1. 对数列取倒数；
2. 将递推式转化为线性关系；
3. 求解线性递推式；
4. 取倒数得到原数列的通项。
示例：
已知数列满足 $ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $，求通项公式。
解：
令 $ b_n = \frac{1}{a_n} $，则：
$$
a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} \Rightarrow \frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 1
$$
即：
$$
b_{n+1} = b_n + 1
$$
这是一个等差数列，首项 $ b_1 = 1 $，公差为 1，故：
$$
b_n = 1 + (n - 1) = n
$$
因此：
$$
a_n = \frac{1}{b_n} = \frac{1}{n}
$$
三、对比总结
| 方法 | 适用类型 | 基本思路 | 示例数列 | 通项公式 |
| 对数法 | 指数或乘积型递推 | 对数变换后转为线性 | $ a_{n+1} = 2a_n $ | $ a_n = 2^n $ |
| 倒数法 | 分式型递推 | 取倒数后转为线性 | $ a_{n+1} = \frac{a_n}{1 + a_n} $ | $ a_n = \frac{1}{n} $ |
四、总结
对数法和倒数法是两种常用的数列通项求解方法，分别适用于不同类型的递推关系。掌握这两种方法不仅有助于解决具体问题，也能提升对数列结构的理解能力。在实际应用中，应结合数列的递推形式选择合适的方法，灵活运用数学工具，提高解题效率。
