【转动惯量公式】转动惯量是描述物体在旋转运动中惯性大小的物理量，类似于直线运动中的质量。它不仅与物体的质量有关，还与质量分布相对于旋转轴的位置密切相关。不同形状的物体，其转动惯量公式也各不相同。以下是对常见物体转动惯量公式的总结。
一、基本概念
转动惯量（Moment of Inertia）用符号 $ I $ 表示，单位为千克·平方米（kg·m²）。其定义为：
$$
I = \sum m_i r_i^2
$$
其中，$ m_i $ 是物体中每个质点的质量，$ r_i $ 是该质点到旋转轴的距离。
对于连续分布的质量体，转动惯量可以表示为：
$$
I = \int r^2 \, dm
$$
二、常见物体的转动惯量公式
| 物体形状 | 转动惯量公式 | 说明 |
| 质点 | $ I = mr^2 $ | $ m $ 为质量，$ r $ 为到轴的距离 |
| 细棒（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{12}mL^2 $ | $ L $ 为棒长，轴通过中心且垂直于棒 |
| 细棒（绕端点） | $ I = \frac{1}{3}mL^2 $ | 轴通过一端，垂直于棒 |
| 圆环（绕中心轴） | $ I = mr^2 $ | $ r $ 为环的半径 |
| 实心圆盘（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{2}mr^2 $ | 轴垂直于盘面并通过中心 |
| 空心圆柱（绕中心轴） | $ I = mr^2 $ | 与圆环类似，但为圆筒形 |
| 实心球（绕过球心的轴） | $ I = \frac{2}{5}mr^2 $ | $ r $ 为球的半径 |
| 空心球（薄壳） | $ I = \frac{2}{3}mr^2 $ | 壁厚可忽略的球壳 |
| 长方体（绕中心轴） | $ I = \frac{1}{12}m(a^2 + b^2) $ | $ a, b $ 为长和宽，轴通过中心且垂直于面 |
三、应用与意义
转动惯量在工程、天文学、物理学等领域有广泛应用。例如：
- 在航天器设计中，控制其转动惯量有助于稳定姿态。
- 在体育运动中，如花样滑冰运动员通过调整手臂位置改变转动惯量，从而控制旋转速度。
- 在机械系统中，转动惯量影响系统的动态响应和能量存储能力。
四、小结
转动惯量是描述物体旋转惯性的关键参数，其值取决于物体的质量分布和旋转轴的位置。掌握不同物体的转动惯量公式，有助于理解和分析旋转运动中的力学行为。以上表格总结了常见物体的转动惯量公式，可供学习和参考使用。
