【解三元一次方程组的练习题及答案(最好有过程)越多越】在初中或高中阶段，三元一次方程组是代数学习中的一个重要内容。它不仅考察学生的代数运算能力，还培养了逻辑思维和问题解决能力。为了帮助学生更好地掌握这一知识点，以下整理了多道典型的三元一次方程组练习题，并附上详细的解题过程和答案。

一、练习题汇总（共10题）

二、答案与详细过程

题目1：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 6 \\

2x - y + z = 3 \\

x + 2y - z = 4

\end{cases}

$$

解法：

1. 将第一个方程记为 (1)，第二个记为 (2)，第三个记为 (3)。

2. 用 (1) 和 (2) 相加，消去 y：

$$

(1) + (2): 3x + 2z = 9 \quad \text{(4)}

$$

3. 用 (1) 和 (3) 相加，消去 z：

$$

(1) + (3): 2x + 3y = 10 \quad \text{(5)}

$$

4. 解 (4) 和 (5)：

- 从 (4) 得：$ x = \frac{9 - 2z}{3} $

- 代入 (5)：

$$

2\left(\frac{9 - 2z}{3}\right) + 3y = 10 \Rightarrow \frac{18 - 4z}{3} + 3y = 10

$$

化简得：$ 3y = 10 - 6 + \frac{4z}{3} = 4 + \frac{4z}{3} \Rightarrow y = \frac{4}{3} + \frac{4z}{9} $

5. 代入原方程求解，最终得到：

$$

x = 2, \quad y = 1, \quad z = 3

$$

答案： $ x=2, y=1, z=3 $

题目2：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 9 \\

2x + 3y - z = 8 \\

3x - 2y + z = 1

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (2) 消去 z：

$$

3x + 4y = 17 \quad \text{(4)}

$$

2. 用 (1) + (3) 消去 z：

$$

4x - y = 10 \quad \text{(5)}

$$

3. 解 (4) 和 (5)：

- 由 (5) 得：$ y = 4x - 10 $

- 代入 (4)：

$$

3x + 4(4x - 10) = 17 \Rightarrow 3x + 16x - 40 = 17 \Rightarrow 19x = 57 \Rightarrow x = 3

$$

- 代入得：$ y = 2, z = 4 $

答案： $ x=3, y=2, z=4 $

题目3：

方程组：

$$

\begin{cases}

x - y + z = 5 \\

2x + y - z = 3 \\

3x - 2y + z = 7

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (2) 消去 z：

$$

3x = 8 \Rightarrow x = \frac{8}{3}

$$

2. 代入 (1) 和 (2) 求 y 和 z：

- 得到 $ y = \frac{1}{3}, z = 4 $

答案： $ x=\frac{8}{3}, y=\frac{1}{3}, z=4 $

题目4：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + 2y + 3z = 14 \\

2x + 3y + z = 11 \\

3x + y + 2z = 12

\end{cases}

$$

解法：

1. 使用消元法，先消去 x：

- 用 (1) × 2 - (2) 得：$ y + 5z = 17 $

- 用 (1) × 3 - (3) 得：$ 5y + 7z = 30 $

2. 解这两个方程，得：

- $ y = 5, z = 2 $

- 代入得：$ x = 3 $

答案： $ x=3, y=5, z=2 $

题目5：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 10 \\

x - y + z = 4 \\

x + y - z = 2

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (2) 得：$ 2x + 2z = 14 \Rightarrow x + z = 7 $

2. 用 (1) + (3) 得：$ 2x + 2y = 12 \Rightarrow x + y = 6 $

3. 解得：$ x = 3, y = 3, z = 4 $

答案： $ x=3, y=3, z=4 $

题目6：

方程组：

$$

\begin{cases}

2x + y + z = 12 \\

x - 2y + z = 3 \\

x + y - 2z = 1

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) - (2) 得：$ x + 3y = 9 $

2. 用 (1) - (3) 得：$ x + 3z = 11 $

3. 解得：$ x=3, y=2, z=2 $

答案： $ x=3, y=2, z=2 $

题目7：

方程组：

$$

\begin{cases}

3x + 2y - z = 10 \\

x - y + 2z = 5 \\

2x + 3y + z = 15

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (3) 得：$ 5x + 5y = 25 \Rightarrow x + y = 5 $

2. 用 (2) + (3) 得：$ 3x + 2y + 3z = 20 $

3. 解得：$ x=2, y=3, z=2 $

答案： $ x=2, y=3, z=2 $

题目8：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + y + z = 6 \\

2x + 2y + 2z = 12 \\

3x + 3y + 3z = 18

\end{cases}

$$

解法：

1. 第二个和第三个方程是第一个方程的倍数，说明方程组有无穷多解。

2. 可令 z 为任意值，设 z = t，则 x + y = 6 - t

答案： 无穷多解，如 $ x = 2, y = 2, z = 2 $

题目9：

方程组：

$$

\begin{cases}

x + 2y - z = 3 \\

2x - y + z = 1 \\

3x + y - 2z = 2

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (2) 得：$ 3x + y = 4 $

2. 用 (1) + (3) 得：$ 4x + 3y = 5 $

3. 解得：$ x=1, y=1, z=0 $

答案： $ x=1, y=1, z=0 $

题目10：

方程组：

$$

\begin{cases}

4x + 2y + z = 18 \\

3x - y + 2z = 11 \\

2x + 3y - z = 10

\end{cases}

$$

解法：

1. 用 (1) + (3) 得：$ 6x + 5y = 28 $

2. 用 (2) + (3) 得：$ 5x + 2y = 21 $

3. 解得：$ x=2, y=4, z=2 $

答案： $ x=2, y=4, z=2 $

三、总结

以上是10道典型的三元一次方程组练习题及其详细解答过程。通过反复练习这些题目，可以有效提升对三元一次方程组的理解与应用能力。建议在解题过程中注重步骤清晰、逻辑严密，避免计算错误。希望这份资料能对你的学习有所帮助！