【余子式和代数余子式是什么】在矩阵与行列式的计算中,余子式(Cofactor)和代数余子式是两个非常重要的概念。它们在计算行列式、求逆矩阵以及解线性方程组等过程中起着关键作用。本文将对这两个概念进行简要总结,并通过表格形式帮助读者更好地理解和区分。
一、基本概念
1. 余子式(Minor)
余子式是指在n阶行列式中,去掉某一行和某一列后所剩下的(n-1)阶行列式的值。通常用 $ M_{ij} $ 表示第i行第j列元素的余子式。
2. 代数余子式(Cofactor)
代数余子式是在余子式的基础上乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $ 得到的结果。即:
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中,$ C_{ij} $ 是第i行第j列元素的代数余子式。
二、余子式与代数余子式的区别
概念 | 定义 | 符号 | 是否带符号 | 应用场景 |
余子式 | 去掉某一行一列后的剩余行列式 | $ M_{ij} $ | 不带符号 | 计算行列式、求逆矩阵 |
代数余子式 | 余子式乘以 $ (-1)^{i+j} $ | $ C_{ij} $ | 带符号 | 行列式展开、求逆矩阵 |
三、举例说明
假设有一个3×3矩阵:
$$
A =
\begin{bmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i \\
\end{bmatrix}
$$
- 元素 $ a $ 的余子式 $ M_{11} $ 是:
$$
M_{11} =
\begin{vmatrix}
e & f \\
h & i \\
\end{vmatrix}
= ei - fh
$$
- 元素 $ a $ 的代数余子式 $ C_{11} $ 是:
$$
C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (ei - fh) = ei - fh
$$
同样地,元素 $ b $ 的代数余子式为:
$$
C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -1 \cdot
\begin{vmatrix}
d & f \\
g & i \\
\end{vmatrix}
= -(di - fg)
$$
四、总结
余子式和代数余子式虽然名字相似,但用途不同。余子式是单纯的行列式值,而代数余子式则包含了符号信息,用于更复杂的矩阵运算中。理解这两个概念有助于深入掌握行列式的性质及应用。
关键词:余子式、代数余子式、行列式、矩阵、Cofactor、Minor