首页 > 生活常识 >

余子式和代数余子式是什么

2025-07-28 22:41:07

问题描述:

余子式和代数余子式是什么,求大佬赐我一个答案,感谢!

最佳答案

推荐答案

2025-07-28 22:41:07

余子式和代数余子式是什么】在矩阵与行列式的计算中,余子式(Cofactor)和代数余子式是两个非常重要的概念。它们在计算行列式、求逆矩阵以及解线性方程组等过程中起着关键作用。本文将对这两个概念进行简要总结,并通过表格形式帮助读者更好地理解和区分。

一、基本概念

1. 余子式(Minor)

余子式是指在n阶行列式中,去掉某一行和某一列后所剩下的(n-1)阶行列式的值。通常用 $ M_{ij} $ 表示第i行第j列元素的余子式。

2. 代数余子式(Cofactor)

代数余子式是在余子式的基础上乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $ 得到的结果。即:

$$

C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

$$

其中,$ C_{ij} $ 是第i行第j列元素的代数余子式。

二、余子式与代数余子式的区别

概念 定义 符号 是否带符号 应用场景
余子式 去掉某一行一列后的剩余行列式 $ M_{ij} $ 不带符号 计算行列式、求逆矩阵
代数余子式 余子式乘以 $ (-1)^{i+j} $ $ C_{ij} $ 带符号 行列式展开、求逆矩阵

三、举例说明

假设有一个3×3矩阵:

$$

A =

\begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i \\

\end{bmatrix}

$$

- 元素 $ a $ 的余子式 $ M_{11} $ 是:

$$

M_{11} =

\begin{vmatrix}

e & f \\

h & i \\

\end{vmatrix}

= ei - fh

$$

- 元素 $ a $ 的代数余子式 $ C_{11} $ 是:

$$

C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot (ei - fh) = ei - fh

$$

同样地,元素 $ b $ 的代数余子式为:

$$

C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -1 \cdot

\begin{vmatrix}

d & f \\

g & i \\

\end{vmatrix}

= -(di - fg)

$$

四、总结

余子式和代数余子式虽然名字相似,但用途不同。余子式是单纯的行列式值,而代数余子式则包含了符号信息,用于更复杂的矩阵运算中。理解这两个概念有助于深入掌握行列式的性质及应用。

关键词:余子式、代数余子式、行列式、矩阵、Cofactor、Minor

免责声明:本答案或内容为用户上传,不代表本网观点。其原创性以及文中陈述文字和内容未经本站证实,对本文以及其中全部或者部分内容、文字的真实性、完整性、及时性本站不作任何保证或承诺,请读者仅作参考,并请自行核实相关内容。 如遇侵权请及时联系本站删除。