【知道两点及半径求圆心坐标】在几何学中，已知一个圆的两个点以及圆的半径，可以求出该圆的圆心坐标。这一问题在工程、计算机图形学、机器人路径规划等领域有广泛应用。本文将总结如何根据已知条件计算圆心坐标，并提供清晰的步骤和公式。
一、问题描述
已知两点 $ A(x_1, y_1) $ 和 $ B(x_2, y_2) $，以及圆的半径 $ r $，求圆心 $ O(x, y) $ 的坐标。
二、解题思路
1. 确定圆心所在的垂直平分线：
圆心位于线段 $ AB $ 的垂直平分线上。
2. 建立方程组：
根据圆心到两点的距离等于半径，列出两个方程。
3. 求解方程组：
解出圆心的坐标。
三、公式与步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定线段 $ AB $ 的中点 $ M $，其坐标为：$ M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) $ |
| 2 | 计算线段 $ AB $ 的斜率 $ k $：$ k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} $（若 $ x_2 = x_1 $，则线段为垂直线） |
| 3 | 垂直平分线的斜率为 $ -\frac{1}{k} $（若 $ k = 0 $，则垂直平分线为垂直线） |
| 4 | 设圆心 $ O(x, y) $ 在垂直平分线上，满足直线方程：$ y - y_M = m(x - x_M) $，其中 $ m $ 为垂直平分线的斜率 |
| 5 | 根据圆心到点 $ A $ 的距离为 $ r $，列方程：$ (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 = r^2 $ |
| 6 | 将第4步中的表达式代入第5步，解出 $ x $ 或 $ y $，再代回求另一个变量 |
四、特殊情况说明
| 情况 | 说明 |
| 无解 | 当两点之间的距离大于两倍半径时，无法构造这样的圆 |
| 两个解 | 当两点之间的距离小于两倍半径时，存在两个可能的圆心 |
| 一个解 | 当两点之间的距离等于两倍半径时，只有一个圆心（即线段中点） |
五、示例
设点 $ A(1, 2) $，点 $ B(5, 6) $，半径 $ r = 5 $。
- 中点 $ M = (3, 4) $
- 斜率 $ k = \frac{6 - 2}{5 - 1} = 1 $，垂直平分线斜率为 $ -1 $
- 垂直平分线方程：$ y - 4 = -1(x - 3) $ → $ y = -x + 7 $
- 代入圆心到点 $ A $ 的距离公式：
$ (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 25 $
代入 $ y = -x + 7 $ 得：
$ (x - 1)^2 + (-x + 5)^2 = 25 $
展开并化简后得到：
$ 2x^2 - 12x + 16 = 0 $
解得：$ x = 2 $ 或 $ x = 4 $，对应的 $ y = 5 $ 或 $ y = 3 $
因此，圆心有两个可能的坐标：$ (2, 5) $ 和 $ (4, 3) $
六、总结
| 项目 | 内容 |
| 已知条件 | 两点坐标和圆的半径 |
| 解法 | 利用垂直平分线和距离公式 |
| 可能结果 | 无解、一个解或两个解 |
| 应用场景 | 几何建模、路径规划、图像处理等 |
通过上述方法，可以系统地解决“知道两点及半径求圆心坐标”的问题，适用于多种实际应用场景。
