【ln（sup2及x的原函数是什么）】在微积分中，求一个函数的原函数（即不定积分）是常见的问题。对于函数 $ \ln^2 x $，它的原函数并不是一个简单的表达式，需要通过分部积分法来求解。本文将总结 $ \ln^2 x $ 的原函数，并以表格形式展示相关步骤和结果。
一、原函数求解过程
我们要求的是：
$$
\int \ln^2 x \, dx
$$
使用分部积分法，设：
- $ u = \ln^2 x $，则 $ du = 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx $
- $ dv = dx $，则 $ v = x $
根据分部积分公式：
$$
\int u \, dv = uv - \int v \, du
$$
代入得：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - \int x \cdot 2 \ln x \cdot \frac{1}{x} dx
$$
化简：
$$
= x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx
$$
接下来，我们需要计算 $ \int \ln x \, dx $，同样使用分部积分法：
- 设 $ u = \ln x $，$ dv = dx $
- 则 $ du = \frac{1}{x} dx $，$ v = x $
所以：
$$
\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \ln x - x + C
$$
将此结果代入之前的表达式：
$$
\int \ln^2 x \, dx = x \ln^2 x - 2(x \ln x - x) + C
$$
进一步整理：
$$
= x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C
$$
二、总结与表格展示
| 步骤 | 积分表达式 | 使用方法 | 结果 |
| 1 | $ \int \ln^2 x \, dx $ | 分部积分 | $ x \ln^2 x - 2 \int \ln x \, dx $ |
| 2 | $ \int \ln x \, dx $ | 分部积分 | $ x \ln x - x + C $ |
| 3 | 代入原式 | 代入法 | $ x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C $ |
三、最终答案
因此，函数 $ \ln^2 x $ 的原函数为：
$$
\boxed{x \ln^2 x - 2x \ln x + 2x + C}
$$
其中 $ C $ 是积分常数。
如需进一步验证，可以对结果进行求导，确认是否得到原始函数 $ \ln^2 x $。
