【集合的基本运算公式】在数学中，集合是研究对象的无序、不重复的总体。集合的基本运算包括并集、交集、补集和差集等，这些运算是集合论中的基础内容，广泛应用于逻辑、概率、计算机科学等领域。以下是对集合基本运算公式的总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、集合的基本运算定义
1. 并集（Union）
设 $ A $ 和 $ B $ 是两个集合，则 $ A \cup B $ 表示由所有属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素组成的集合。
2. 交集（Intersection）
$ A \cap B $ 表示由同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素组成的集合。
3. 补集（Complement）
若全集为 $ U $，则 $ A' $ 或 $ \overline{A} $ 表示不属于 $ A $ 的所有元素组成的集合。
4. 差集（Difference）
$ A - B $ 表示属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素组成的集合。
5. 对称差集（Symmetric Difference）
$ A \triangle B $ 表示属于 $ A $ 或 $ B $，但不同时属于两者的元素组成的集合。
二、集合运算公式总结
| 运算名称 | 符号表示 | 定义说明 | 公式表达式 |
| 并集 | $ A \cup B $ | 属于 $ A $ 或 $ B $ 的元素 | $ A \cup B = \{x \mid x \in A \lor x \in B\} $ |
| 交集 | $ A \cap B $ | 同时属于 $ A $ 和 $ B $ 的元素 | $ A \cap B = \{x \mid x \in A \land x \in B\} $ |
| 补集 | $ A' $ 或 $ \overline{A} $ | 不属于 $ A $ 的所有元素（相对于全集 $ U $） | $ A' = \{x \in U \mid x \notin A\} $ |
| 差集 | $ A - B $ | 属于 $ A $ 但不属于 $ B $ 的元素 | $ A - B = \{x \mid x \in A \land x \notin B\} $ |
| 对称差集 | $ A \triangle B $ | 属于 $ A $ 或 $ B $，但不同时属于两者 | $ A \triangle B = (A - B) \cup (B - A) $ |
三、常见性质与定律
1. 交换律
- $ A \cup B = B \cup A $
- $ A \cap B = B \cap A $
2. 结合律
- $ (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) $
- $ (A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) $
3. 分配律
- $ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) $
- $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $
4. 德摩根定律
- $ (A \cup B)' = A' \cap B' $
- $ (A \cap B)' = A' \cup B' $
四、应用举例
设 $ A = \{1, 2, 3\} $，$ B = \{2, 3, 4\} $，全集 $ U = \{1, 2, 3, 4, 5\} $，则：
- $ A \cup B = \{1, 2, 3, 4\} $
- $ A \cap B = \{2, 3\} $
- $ A' = \{4, 5\} $
- $ A - B = \{1\} $
- $ A \triangle B = \{1, 4\} $
通过以上总结，我们可以更清晰地理解集合的基本运算及其应用场景。掌握这些公式和性质，有助于在数学分析、逻辑推理以及实际问题建模中灵活运用集合思想。
