【垂直向量的公式是什么】在向量运算中，垂直向量是一个重要的概念，常用于几何、物理和工程等领域。两个向量如果互相垂直，它们的点积（内积）为零。本文将总结垂直向量的基本概念及相关的公式，并通过表格形式清晰展示。
一、垂直向量的基本概念
在二维或三维空间中，若两个向量 a 和 b 满足以下条件：
$$
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0
$$
则称这两个向量是垂直的，也称为正交的。这里的“·”表示向量的点积运算。
二、垂直向量的公式总结
| 向量维度 | 向量表示 | 点积公式 | 垂直条件 |
| 二维 | $\mathbf{a} = (a_1, a_2)$ $\mathbf{b} = (b_1, b_2)$ | $a_1b_1 + a_2b_2$ | $a_1b_1 + a_2b_2 = 0$ |
| 三维 | $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)$ $\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)$ | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$ | $a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 = 0$ |
三、举例说明
二维情况：
- 向量 $\mathbf{a} = (3, 4)$
- 向量 $\mathbf{b} = (-4, 3)$
- 点积：$3 \times (-4) + 4 \times 3 = -12 + 12 = 0$
- 结论：$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直
三维情况：
- 向量 $\mathbf{a} = (1, 2, 3)$
- 向量 $\mathbf{b} = (2, -1, 0)$
- 点积：$1 \times 2 + 2 \times (-1) + 3 \times 0 = 2 - 2 + 0 = 0$
- 结论：$\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 垂直
四、注意事项
- 垂直向量不一定是单位向量。
- 两个非零向量只有在点积为零时才垂直。
- 在实际应用中，可以通过点积判断两个向量是否垂直。
五、总结
垂直向量的核心公式是点积为零。无论是二维还是三维空间，只要满足这个条件，两个向量就互为垂直。通过上述表格可以快速掌握不同维度下的计算方法，便于在实际问题中应用。
