在数学和物理学中，向量积是一个非常重要的概念，尤其是在三维空间中描述力矩、角动量等问题时。向量积又被称为叉乘（cross product），它是一种特殊的二元运算，其结果仍然是一个向量。

假设我们有两个三维向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们可以表示为：

\[

\vec{a} = (a_1, a_2, a_3), \quad \vec{b} = (b_1, b_2, b_3)

\]

那么这两个向量的向量积 \(\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}\) 的计算公式可以通过行列式的形式来表达：

\[

\vec{c} =

\begin{vmatrix}

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

\]

其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是单位向量 \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\) 的符号表示。

展开这个行列式后，得到的结果是：

\[

\vec{c} = (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}

\]

换句话说，向量积的结果 \(\vec{c}\) 的三个分量分别是：

\[

c_x = a_2b_3 - a_3b_2, \quad c_y = -(a_1b_3 - a_3b_1), \quad c_z = a_1b_2 - a_2b_1

\]

需要注意的是，向量积的方向遵循右手定则：如果将 \(\vec{a}\) 的方向作为拇指，\(\vec{b}\) 的方向作为食指，则 \(\vec{c}\) 的方向就是手掌弯曲所指的方向。

此外，向量积的一个重要性质是其模长等于两个向量构成的平行四边形的面积。具体来说：

\[

|\vec{c}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta

\]

其中 \(\theta\) 是 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 之间的夹角。

向量积的应用十分广泛，比如在计算机图形学中用于计算法线方向，在物理中用于描述力矩和角动量等。掌握好向量积的概念及其公式，对于理解更高层次的数学和物理理论至关重要。

总结一下，向量积公式的核心在于通过行列式的形式计算出结果向量的分量，并且其方向由右手定则决定。这一工具为我们提供了强大的手段去解决实际问题中的几何与物理挑战。