在数学领域中，函数的求导是一个非常重要的概念。今天我们来探讨一个经典的函数——arctan(x)，即反正切函数的导数。这个函数不仅在理论研究中有重要意义，在实际应用中也经常出现，尤其是在信号处理、控制理论以及物理建模等领域。

首先，我们明确一下arctan(x)的定义。arctan(x)是正切函数tan(y)的反函数，它的值域通常限定为(-π/2, π/2)，这是为了让函数具有单值性和可逆性。简单来说，如果y = arctan(x)，那么tan(y) = x，并且y满足上述值域条件。

接下来，我们计算arctan(x)的导数。这是一个标准的微积分问题，其结果可以通过链式法则和基本的三角函数性质推导出来。具体步骤如下：

假设f(x) = arctan(x)，我们需要找到f'(x)。根据反函数的导数公式，若y = f(x)，则有：

\[ f'(x) = \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \]

对于arctan(x)，我们知道其反函数是tan(y)，因此可以写出：

\[ \frac{d}{dy}(\tan(y)) = \sec^2(y) \]

于是，arctan(x)的导数就等于：

\[ f'(x) = \frac{1}{\sec^2(y)} \]

由于tan(y) = x，我们可以利用三角恒等式\(1 + \tan^2(y) = \sec^2(y)\)，得到：

\[ \sec^2(y) = 1 + x^2 \]

因此，arctan(x)的导数最终为：

\[ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} \]

这个结果非常重要，因为它表明了arctan(x)的导数与x平方成反比关系。这一特性使得arctan(x)在许多数学模型中扮演着关键角色。

总结来说，arctan(x)的导数是\( \frac{1}{1 + x^2} \)，这个结论来源于反函数的导数公式以及三角函数的基本性质。通过深入理解这一导数，我们可以更好地掌握函数的行为，并将其应用于更广泛的科学和技术问题中。