在数学中，向量是一种重要的工具，广泛应用于物理、工程和计算机科学等领域。向量的乘法是向量运算中的一个核心部分，主要包括点积（内积）和叉积（外积）。本文将从坐标表示的角度出发，详细推导这两种向量乘法的公式。
点积（内积）的坐标公式推导
假设我们有两个三维向量 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，它们的点积定义为：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta
\]
其中，\(\theta\) 是两个向量之间的夹角。然而，在坐标表示下，点积可以直接通过分量计算得到：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\]
这个公式的推导基于向量的几何性质和代数展开。首先，我们可以将向量 \(\mathbf{a}\) 和 \(\mathbf{b}\) 表示为基向量的线性组合：
\[
\mathbf{a} = a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}, \quad \mathbf{b} = b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} + b_3 \mathbf{k}
\]
其中，\(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 分别是三个坐标轴上的单位向量。根据点积的分配律和单位向量的性质：
\[
\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{k} = 1, \quad \mathbf{i} \cdot \mathbf{j} = \mathbf{j} \cdot \mathbf{k} = \mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0
\]
我们可以展开点积：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (a_1 \mathbf{i} + a_2 \mathbf{j} + a_3 \mathbf{k}) \cdot (b_1 \mathbf{i} + b_2 \mathbf{j} + b_3 \mathbf{k})
\]
利用分配律和单位向量的性质，最终得到：
\[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3
\]
叉积（外积）的坐标公式推导
接下来，我们考虑两个三维向量的叉积。叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于原来的两个向量，并遵循右手定则。叉积的大小等于这两个向量所围成的平行四边形的面积。
假设 \(\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\mathbf{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，则叉积 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b}\) 的坐标表示为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}
\]
通过行列式展开，我们可以得到：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} - \left( a_1 b_3 - a_3 b_1 \right) \mathbf{j} + \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k}
\]
因此，叉积的坐标分量形式为：
\[
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 \right)
\]
结论
通过对点积和叉积的坐标公式进行推导，我们可以看到这些公式在实际应用中具有极高的实用价值。无论是用于物理问题中的功和力矩计算，还是在计算机图形学中的光线追踪，这些公式都为我们提供了强大的工具。
总结来说，点积的坐标公式为 \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\)，而叉积的坐标公式为 \(\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1 \right)\)。掌握这些公式不仅能够帮助我们更好地理解向量的几何意义，还能在各种实际问题中提供高效的解决方案。
