【等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决此类数列前n项和的重要工具。以下是对等比数列求和公式的总结，并通过表格形式展示不同情况下的应用。

一、等比数列的基本概念

- 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数（即公比），则称这个数列为等比数列。

- 通项公式：若首项为 $ a $，公比为 $ r $，则第 $ n $ 项为：

$$

a_n = a \cdot r^{n-1}

$$

- 求和公式：前 $ n $ 项和记作 $ S_n $，其公式如下：

$$

S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，此时：

$$

S_n = a \cdot n

$$

二、不同情况下的求和公式总结

三、示例说明

例1：已知等比数列首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和。

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{1 - 3^5}{1 - 3} = 2 \cdot \frac{1 - 243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

例2：若公比 $ r = 1 $，首项 $ a = 5 $，求前7项的和。

$$

S_7 = 5 \cdot 7 = 35

$$

四、注意事项

- 若公比 $ r < 1 $，当 $ n \to \infty $ 时，数列趋于收敛，此时无穷等比数列的和为：

$$

S = \frac{a}{1 - r}

$$

- 使用公式时需注意公比是否为1，否则可能导致除以零的错误。

五、总结

等比数列的求和公式是处理此类数列问题的核心工具，掌握其基本形式及应用场景对学习数列和级数具有重要意义。通过合理选择公式并结合实际例子进行计算，可以有效提升解题效率与准确性。