【等比数列的公式】等比数列是数学中一种常见的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数。这个常数称为“公比”。在实际问题中，等比数列被广泛应用于金融、物理、计算机科学等领域。掌握等比数列的相关公式，有助于快速计算和分析数列的变化规律。
以下是对等比数列主要公式的总结：
一、基本概念
- 首项：数列的第一项，记作 $ a $
- 公比：相邻两项的比值，记作 $ r $
- 第 n 项：数列的第 n 个元素，记作 $ a_n $
二、等比数列的主要公式
| 公式名称 | 公式表达式 | 说明 | ||
| 第 n 项公式 | $ a_n = a \cdot r^{n-1} $ | 计算数列中第 n 项的值 | ||
| 前 n 项和公式 | $ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $ | 当 $ r \neq 1 $ 时，计算前 n 项的和 | ||
| 无穷等比数列和 | $ S = \frac{a}{1 - r} $ | 当 $ | r | < 1 $ 时，求无限项的和 |
三、使用示例
假设有一个等比数列，首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求：
1. 第 5 项是多少？
2. 前 4 项的和是多少？
3. 如果 $ r = 0.5 $，求无限项的和是多少？
解答：
1. 第 5 项：
$ a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 81 = 162 $
2. 前 4 项和：
$ S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 2 \cdot 40 = 80 $
3. 无限项和（$ r = 0.5 $）：
$ S = \frac{2}{1 - 0.5} = \frac{2}{0.5} = 4 $
四、注意事项
- 若公比 $ r = 1 $，则数列为常数列，此时前 n 项和为 $ S_n = a \cdot n $
- 当公比 $
- 在实际应用中，应根据题目条件选择合适的公式进行计算
通过掌握这些公式，可以更高效地处理等比数列相关的问题。理解其背后的逻辑，也有助于提升数学思维能力和解题技巧。
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