【等比数列的求和公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值是一个常数，称为公比。等比数列的求和公式是解决相关问题的关键工具。本文将对等比数列的求和公式进行总结，并以表格形式展示不同情况下的应用方式。

一、等比数列的基本概念

- 定义：一个数列如果从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，这样的数列叫做等比数列。

- 通项公式：

$ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $

其中，$ a_1 $ 是首项，$ r $ 是公比，$ n $ 是项数。

二、等比数列的求和公式

1. 有限项求和（前 $ n $ 项和）

当等比数列有 $ n $ 项时，其前 $ n $ 项的和 $ S_n $ 可以用以下公式计算：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r} \quad (r \neq 1)

$$

或者写成：

$$

S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1)

$$

2. 无限项求和（无穷等比数列）

当公比 $ r < 1 $ 时，等比数列的项会逐渐趋近于零，此时可以求其无限项的和：

$$

S = \frac{a_1}{1 - r}

$$

三、公式使用说明

四、举例说明

例1：求等比数列 3, 6, 12, 24, 48 的前5项和。

- 首项 $ a_1 = 3 $

- 公比 $ r = 2 $

- 项数 $ n = 5 $

代入公式：

$$

S_5 = 3 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 3 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 3 \cdot 31 = 93

$$

例2：求等比数列 $ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots $ 的无限项和。

- 首项 $ a_1 = 1 $

- 公比 $ r = \frac{1}{2} $

因为 $ r < 1 $，所以：

$$

S = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

$$

五、总结

等比数列的求和公式是解决实际问题的重要工具，无论是有限项还是无限项，都有相应的计算方法。掌握这些公式不仅有助于提高解题效率，还能加深对数列性质的理解。在实际应用中，要根据题目给出的条件选择合适的公式，避免误用或忽略前提条件。