【高中两角和差公式】在高中数学中，两角和差公式是三角函数的重要内容之一，广泛应用于三角恒等变换、解三角形以及一些实际问题的求解中。掌握这些公式不仅有助于理解三角函数的性质，还能提高解题效率。
一、两角和与差的公式总结
以下是常见的两角和与差的三角函数公式：
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和公式 | $\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ |
| 正弦差公式 | $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ |
| 余弦和公式 | $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ |
| 余弦差公式 | $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ |
| 正切和公式 | $\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ |
| 正切差公式 | $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}$ |
二、公式应用举例
1. 计算 $\sin(45^\circ + 30^\circ)$：
使用正弦和公式：
$$
\sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ
$$
代入已知值：
$$
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2},\quad \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}
$$
计算得：
$$
\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}
$$
2. 计算 $\tan(45^\circ - 30^\circ)$：
使用正切差公式：
$$
\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ}
$$
代入已知值：
$$
\tan 45^\circ = 1,\quad \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}
$$
计算得：
$$
\tan 15^\circ = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}
$$
有理化分母后可得：
$$
\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}
$$
三、学习建议
- 记忆方式：可以通过口诀或图像辅助记忆，如“正弦和差看交叉，余弦和差看同向”。
- 练习方法：多做相关题目，尤其是涉及角度转换、化简和证明的问题。
- 注意点：在使用正切和差公式时，要特别注意分母不能为零，即 $\tan A \tan B \neq 1$。
通过掌握这些基本公式并灵活运用，能够大大提升解决三角函数问题的能力，也为后续学习三角恒等变换、复数等内容打下坚实基础。
