【平面向量的必背公式】在高中数学中，平面向量是一个重要的知识点，它不仅与几何密切相关，还广泛应用于物理、工程等领域。掌握平面向量的基本概念和常用公式，有助于提高解题效率，增强对向量问题的理解能力。以下是对平面向量相关公式的总结，便于复习和记忆。
一、基本概念
| 概念 | 定义 |
| 向量 | 既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示 |
| 零向量 | 长度为0的向量，方向任意 |
| 单位向量 | 长度为1的向量 |
| 相等向量 | 方向相同且长度相等的向量 |
| 相反向量 | 方向相反、长度相等的向量 |
二、向量的运算公式
| 运算类型 | 公式 | 说明 | ||||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ | 向量的坐标相加 | ||||
| 向量减法 | $\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ | 向量的坐标相减 | ||||
| 数乘向量 | $k\vec{a} = (kx, ky)$ | 向量与实数相乘 | ||||
| 向量点积（数量积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$ 或 $\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \vec{b} | \cos\theta$ | 两个向量的乘积结果为一个标量 | |
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{x^2 + y^2}$ | 向量的长度 | ||
| 向量夹角 | $\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{a} | \vec{b} | }$ | 两向量之间的夹角公式 |
三、向量的性质与应用
| 性质/应用 | 公式/说明 | |||
| 向量共线 | 若$\vec{a} = k\vec{b}$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$共线 | |||
| 向量垂直 | 若$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$，则$\vec{a}$与$\vec{b}$垂直 | |||
| 向量投影 | $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{ | \vec{b} | ^2} \vec{b}$ | 向量$\vec{a}$在$\vec{b}$方向上的投影 |
| 向量的单位化 | $\hat{a} = \frac{\vec{a}}{ | \vec{a} | }$ | 将向量转化为单位向量 |
四、典型例题解析（简要）
例1： 已知$\vec{a} = (3, 4)$，$\vec{b} = (-1, 2)$，求$\vec{a} + \vec{b}$的模。
解：
$$
\vec{a} + \vec{b} = (3 - 1, 4 + 2) = (2, 6)
$$
$$
$$
五、小结
平面向量的学习需要理解其基本概念和运算规则，并熟练掌握相关的公式。通过反复练习和实际应用，可以加深对向量知识的理解，提升解题能力。希望以上内容能帮助你更好地掌握平面向量的相关知识。
如需进一步拓展内容，可结合具体题目进行深入分析。
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