【平面向量重心坐标公式】在平面几何中，重心是三角形的一个重要特征点，它是由三角形的三个顶点所确定的。利用向量方法可以更直观地描述和计算重心的位置。本文将总结平面向量中关于重心坐标公式的相关知识，并以表格形式进行归纳。
一、基本概念
1. 重心（Centroid）：三角形的三条中线交于一点，这个点称为三角形的重心。重心将每条中线分为2:1的比例，即从顶点到重心的距离是重心到对边中点距离的两倍。
2. 向量表示：设三角形的三个顶点为 $ A, B, C $，其对应的向量分别为 $ \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} $，则重心 $ G $ 的位置向量可以用以下方式表示：
$$
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
$$
这表明，重心的向量位置是三个顶点向量的平均值。
二、重心坐标的向量表达式
对于任意一个三角形，若已知三个顶点的坐标，则可以通过向量运算求出重心坐标。假设：
- 点 $ A(x_1, y_1) $
- 点 $ B(x_2, y_2) $
- 点 $ C(x_3, y_3) $
则重心 $ G $ 的坐标为：
$$
x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}
$$
这一公式也可以用向量形式表示为：
$$
\vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C})
$$
三、应用举例
| 顶点 | 坐标 | 向量表示 |
| A | (1, 2) | $ \vec{A} = (1, 2) $ |
| B | (4, 5) | $ \vec{B} = (4, 5) $ |
| C | (7, 8) | $ \vec{C} = (7, 8) $ |
根据公式计算重心坐标：
$$
x_G = \frac{1 + 4 + 7}{3} = 4, \quad y_G = \frac{2 + 5 + 8}{3} = 5
$$
所以，重心 $ G $ 的坐标为 $ (4, 5) $。
四、总结
| 内容 | 说明 |
| 重心定义 | 三角形三条中线的交点 |
| 向量公式 | $ \vec{G} = \frac{1}{3}(\vec{A} + \vec{B} + \vec{C}) $ |
| 坐标公式 | $ x_G = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \quad y_G = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3} $ |
| 特点 | 重心将每条中线分为2:1比例，且位于三角形内部 |
| 应用场景 | 几何分析、图形处理、物理力学中的质心计算等 |
通过上述内容可以看出，平面向量重心坐标公式不仅简洁明了，而且具有广泛的应用价值。掌握该公式有助于更好地理解几何结构与向量关系之间的联系。
