【不动点法求数列通项原理】在数列问题中，求解通项公式是常见的任务之一。不动点法是一种用于求解递推数列通项的数学方法，尤其适用于线性递推关系或某些非线性递推关系。本文将总结不动点法的基本原理，并通过实例说明其应用。
一、不动点法基本原理
不动点法的核心思想是：对于一个递推关系式，若存在某个常数 $ x_0 $，使得该数列在达到这个值后不再变化（即 $ a_{n+1} = a_n = x_0 $），那么这个 $ x_0 $ 就称为该递推关系的“不动点”。
通过寻找不动点，可以将递推关系转化为更易处理的形式，进而求得通项公式。
二、不动点法的应用步骤
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 给定递推关系式，如 $ a_{n+1} = f(a_n) $ |
| 2 | 求出不动点 $ x_0 $，即解方程 $ x = f(x) $ |
| 3 | 若存在唯一不动点，可尝试构造新的数列 $ b_n = a_n - x_0 $，将其代入原递推式 |
| 4 | 将新数列化为齐次或可解形式，从而求出 $ b_n $ 的通项 |
| 5 | 回代得到 $ a_n $ 的通项公式 |
三、典型例子分析
例1：线性递推
设数列满足：
$$
a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1
$$
求不动点：
$$
x = \frac{1}{2}x + 1 \Rightarrow x = 2
$$
令 $ b_n = a_n - 2 $，则：
$$
b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = \frac{1}{2}a_n + 1 - 2 = \frac{1}{2}(a_n - 2) = \frac{1}{2}b_n
$$
这是一个等比数列，通项为：
$$
b_n = b_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n
$$
因此：
$$
a_n = b_n + 2 = 2 + b_0 \left(\frac{1}{2}\right)^n
$$
例2：非线性递推
设数列满足：
$$
a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_n + 2}
$$
求不动点：
$$
x = \frac{x + 1}{x + 2} \Rightarrow x(x + 2) = x + 1 \Rightarrow x^2 + x - 1 = 0
$$
解得：
$$
x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
$$
选择其中一个不动点 $ x_0 = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} $，令 $ b_n = a_n - x_0 $，代入原式进行变换，最终可得通项。
四、总结表格
| 类型 | 递推式 | 不动点 | 变换方式 | 通项形式 |
| 线性 | $ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 $ | $ x = 2 $ | $ b_n = a_n - 2 $ | $ a_n = 2 + b_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n $ |
| 非线性 | $ a_{n+1} = \frac{a_n + 1}{a_n + 2} $ | $ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} $ | $ b_n = a_n - x_0 $ | 复杂形式，需进一步计算 |
五、注意事项
- 不动点法适用于部分递推关系，尤其是线性或具有对称性的非线性递推。
- 若递推式无不动点或有多个不动点，可能需要其他方法（如特征方程法）辅助求解。
- 实际应用中，需结合初始条件与数列特性综合判断。
通过以上分析可以看出，不动点法是一种简洁而有效的工具，能够帮助我们快速找到数列的通项表达式，尤其在处理简单递推关系时具有明显优势。
