【平面与平面垂直的判定定理】在立体几何中，两个平面之间的位置关系是研究的重点之一。其中，平面与平面垂直是一种重要的空间关系，广泛应用于数学、物理及工程领域。掌握“平面与平面垂直的判定定理”对于理解空间几何结构具有重要意义。
一、定义与基本概念
平面与平面垂直：如果两个平面相交，并且它们的二面角为直角（即90°），则称这两个平面互相垂直。
判断两个平面是否垂直，通常可以通过以下几种方法进行：
1. 利用法向量
2. 利用直线与平面的关系
3. 利用几何图形的性质
二、判定定理总结
| 判定方法 | 内容说明 | 应用条件 |
| 法向量法 | 若两个平面的法向量垂直，则这两个平面也垂直 | 已知两平面的法向量 |
| 直线垂直法 | 若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直 | 一条直线与另一平面垂直 |
| 几何构造法 | 在一个平面内作两条相交直线，分别与另一个平面垂直，则两平面垂直 | 构造出两条相交直线与另一平面垂直 |
三、典型例题解析
例题1：已知平面α的法向量为$\vec{n}_1 = (1, 2, 3)$，平面β的法向量为$\vec{n}_2 = (-2, 1, 0)$，判断两平面是否垂直。
解：计算两法向量的点积：
$$
\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = 1 \times (-2) + 2 \times 1 + 3 \times 0 = -2 + 2 + 0 = 0
$$
因为点积为0，说明两法向量垂直，故两平面垂直。
例题2：若平面α内存在一条直线l，且直线l垂直于平面β，则平面α与平面β是否一定垂直？
答：是的。根据判定定理，“若一个平面内有一条直线垂直于另一个平面，则这两个平面垂直”。
四、常见误区
- 误以为只要两平面有交线就垂直：这是错误的，只有当交线所成的二面角为90°时才成立。
- 混淆法向量与方向向量：法向量用于判断平面间的关系，而方向向量一般用于判断直线与平面的关系。
- 忽略“相交”前提：平面垂直的前提是两个平面必须相交，否则无法构成二面角。
五、总结
平面与平面垂直的判定是立体几何中的重要内容，掌握其判定方法有助于更深入地理解空间几何结构。通过法向量、直线垂直以及几何构造等方法，可以有效地判断两个平面是否垂直。在实际应用中，应结合具体题目灵活运用这些方法，避免常见误区，提高解题准确率。
