【等比数列性质】等比数列是数列中的一种重要类型，其核心特点是每一项与前一项的比值保持不变。这种数列在数学、物理、经济等多个领域都有广泛应用。为了帮助学习者更好地理解和掌握等比数列的相关性质，以下将对等比数列的基本性质进行总结，并通过表格形式进行清晰展示。
一、等比数列的基本定义
设一个数列为 $ a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n $，若满足：
$$
\frac{a_{n}}{a_{n-1}} = r \quad (n \geq 2)
$$
其中 $ r $ 为常数，称为公比，则该数列为等比数列。
二、等比数列的主要性质总结
| 序号 | 性质名称 | 内容描述 |
| 1 | 通项公式 | $ a_n = a_1 \cdot r^{n-1} $，其中 $ a_1 $ 为首项，$ r $ 为公比 |
| 2 | 前 n 项和公式 | $ S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} $（当 $ r \neq 1 $） |
| 3 | 当 $ r = 1 $ 时 | 数列为常数列，$ S_n = n \cdot a_1 $ |
| 4 | 任意两项的关系 | 若 $ m > n $，则 $ a_m = a_n \cdot r^{m-n} $ |
| 5 | 等比中项 | 若三个数 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ b^2 = a \cdot c $，且 $ b = \sqrt{ac} $ |
| 6 | 比例关系 | 若 $ a, b, c $ 成等比数列，则 $ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = r $ |
| 7 | 连续项的乘积 | 若 $ a_1, a_2, \ldots, a_n $ 成等比数列，则 $ a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_n = a_1^n \cdot r^{\frac{n(n-1)}{2}} $ |
| 8 | 递推关系 | $ a_{n+1} = a_n \cdot r $ |
三、实际应用举例
例如：数列 $ 2, 6, 18, 54, 162 $ 是一个等比数列，首项 $ a_1 = 2 $，公比 $ r = 3 $。
- 第 5 项：$ a_5 = 2 \cdot 3^{4} = 162 $
- 前 4 项和：$ S_4 = 2 \cdot \frac{3^4 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{81 - 1}{2} = 80 $
四、注意事项
- 公比 $ r $ 可以是正数、负数或分数，但不能为 0。
- 当 $ r > 1 $ 时，数列递增；当 $ 0 < r < 1 $ 时，数列递减；当 $ r < 0 $ 时，数列交替变化。
- 若 $ r = 1 $，数列变为常数列，此时前 n 项和为 $ n \cdot a_1 $。
通过以上总结可以看出，等比数列具有清晰的规律性和可计算性，掌握其基本性质有助于解决许多实际问题。在学习过程中，建议结合具体例子加深理解，并灵活运用相关公式进行计算。
