【非齐次方程组通解怎么求】在高等数学或线性代数的学习中，非齐次方程组是一个重要的内容。它的求解方法与齐次方程组有所不同，但两者之间也存在一定的联系。本文将总结非齐次方程组通解的求法，并通过表格形式进行归纳，帮助读者更清晰地理解这一过程。

一、基本概念

- 非齐次方程组：形如 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $ 的方程组，其中 $ \mathbf{b} \neq 0 $。

- 通解：满足该方程组的所有解的集合，通常由一个特解加上对应齐次方程组的通解构成。

二、通解的求解步骤

1. 写出系数矩阵和增广矩阵

将方程组写成矩阵形式 $ A\mathbf{x} = \mathbf{b} $，并构造增广矩阵 $ [A\mathbf{b}] $。

2. 对增广矩阵进行初等行变换

使用高斯消元法或克莱姆法则等方法，将矩阵化为行简化阶梯型（RREF）。

3. 判断方程组是否有解

- 若系数矩阵的秩 $ r(A) \neq r([A\mathbf{b}]) $，则无解。

- 若 $ r(A) = r([A\mathbf{b}]) $，则有解。

4. 求齐次方程组的通解

解对应的齐次方程 $ A\mathbf{x} = \mathbf{0} $，得到其基础解系，进而写出通解。

5. 找一个非齐次方程组的特解

可以通过赋值自由变量的方式，找到一个具体的解。

6. 写出非齐次方程组的通解

通解 = 特解 + 齐次方程组的通解。

三、通解结构总结表

四、举例说明

设非齐次方程组为：

$$

\begin{cases}

x_1 + x_2 + x_3 = 1 \\

2x_1 + 3x_2 + 4x_3 = 2 \\

x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 3

\end{cases}

$$

增广矩阵为：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 1 & 1 & 1 \\

2 & 3 & 4 & 2 \\

1 & 2 & 3 & 3

\end{array}\right

$$

通过行变换后，可得：

$$

\left[\begin{array}{cccc}

1 & 0 & -1 & -1 \\

0 & 1 & 2 & 2 \\

0 & 0 & 0 & 0

\end{array}\right

$$

由此可得：$ x_1 = -1 + x_3 $, $ x_2 = 2 - 2x_3 $, $ x_3 $ 为自由变量。

令 $ x_3 = t $，则通解为：

$$

\mathbf{x} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}

$$

五、总结

非齐次方程组的通解是其特解与对应齐次方程组通解的和。求解过程中需注意以下几点：

- 先判断是否存在解；

- 确保正确求出齐次方程组的基础解系；

- 选择合适的特解，避免计算错误。

掌握这些步骤，可以帮助我们系统地解决非齐次方程组的通解问题。